为“数学广角”释“难”给力

“数学广角”的内容是人教版小学数学实验教材新增加的板块，“数学广角”教学的关键是通过简单的事例渗透一些重要的数学思想方法，其目标是培养学生的思维及解决实际问题的能力。这块新内容许多执教教师感到比较迷茫，迷茫于编者的意图，迷茫于教学目标的把握，迷茫于教学方法的选择，迷茫于教学内容的处理，迷茫于教学过程的展开，因此教师感到难教。另一方面由于学生认知能力和生活经验有限，再加上所学内容的抽象性，因此造成学生学习困难重重。
笔者在长期的教学实践中领悟到：突破“数学广角”这一难点关键在于准确把握教学目标；创设具有生活化的教学情境；经历动手探究、数形结合、模型构建的过程；在知识形成过程中渗透数学思想方法。
一、准确定位教学目标

《课程标准》在教材编写建议中明确提出：“根据学生已有的经验、心理发展规律以及所教内容特点，一些重要的数学概念与数学思想应采用逐步渗透、深化、螺旋上升的方式编排”。基于这样的指导意义，人教版教材关于“数学广角”单元的编排思路，主要是通过一些比较简单的事例渗透一些重要的数学思想方法，让学生在解决问题的过程中主动尝试从数学的角度寻求解决问题的策略，经历猜想、实验、推理等数学探索活动的过程，增加学生解决实际问题的经验和能力，体会一些重要的数学思想方法。
例如：小学数学五年级下册中“找次品问题”，它为落实“基本的数学知识、基本的数学技能、基本的数学思想、基本的数学活动”这一多维目标提供了很好的载体，在解决这一问题的过程中，学生可以进一步理解什么是随机事件，理解和掌握基本的逻辑推理和化归的思想方法，与此同时，如何清晰地表达数学思维的过程；如何理解解决问题策略的多样化和优化；如何运用比较——猜测——验证的策略发现数学结论；如何把复杂问题转化为简单的问题；如何把具体问题推广为一般问题，都是在解决这一问题的过程中需要考虑的。这些蕴含在解决问题过程中的隐性教学目标或许恰恰是在过去的教学中容易被忽视的。
二、创设生活化的教学情境

翻开教材我们不难发现，“数学广角”的内容都是源于学生熟悉的生活事例。在“服装搭配”、“乒乓球比赛安排”情境中渗透排列组合思想；在“烙饼”和“烧水沏茶情境”中，渗透运筹思想；在“邮政编码与身份证编码”中感受编码思想。这样编排使原本比较抽象、深奥的数学思想方法有了丰富的现实背景，情境中的元素、课后的练习题，也都是学生在生活中比较熟悉、生动有趣的素材，这样有利于激发他们对数学的好奇心和求知欲，也让他们感受到生活中处处有数学。
小学数学三年级下册“集合问题”教学片断
师：六·一节前，我们班在年级学科竞赛中语文有7人获奖，数学有9人获奖，现在我们就为这16人颁奖好吗？
生1：老师，不对呀？没有16人啊！
师：9+7=16人，怎么不是16人呢？
生2：因为在这16人中有的人是重复获奖的。
师：重复的？怎样理解？
生3：因为有的同学语文获奖了，数学也获奖。
师：原来是这样，我明白了。接下来我们做一个游戏，老师这里准备了一个红色的圈和一个绿色的圈，现在请语文获奖7人站在红圈中来，数学获奖9人站到绿色的圈子里来。
师：你们怎么跑到这个圈子里来了，你们不是应该站在红色圈子里吗？
生4：老师，我们既是语文获奖的，又是数学获奖的，我们是重复的
师：喔，原来是这样！同学们，这两位同学你们认为站在哪里最好？
生5：他们应该既站在红圈里，也站在绿圈里。
师：说得有道理，你们能在纸上用画图的方法来表示这个情景吗？

 
这个学生用最简洁的方式说明了问题，这幅图就是集合图，教师结合这一幅图进行“集合”相关知识的教学，学生学得兴趣盎然，深深感受到了数学中浓浓的生活味。
三、经历动手探究、数形结合、模型构建的教学过程

小学数学四年级下册中“植树问题”教学片断
师：为了美化环境，园林工人在一条长20米的小路一侧种小树，每隔5米种一棵，该怎么种？你能帮忙设计一个植树方案吗？
生：独立思考并在纸上画出示意图
 
师：比较这几种植树方案有什么相同和不同？
师：如果让你来种树，要使每两棵树之间距离相等，还可以每隔几米种一棵？（1米、2米、4米、10米……）
生：分小组活动，每组选择其中一种植树情况，用自己喜爱的方式探究植树棵数与间隔之间的关系。
可以画图，也可以用学具摆一摆。
师：仔细观察上表，你发现了什么？分小组交流。
反馈并板书：
总长÷间距=间隔数
棵数=间隔数+1  （两端都种）
棵数=间隔数    （只种一端）
棵数=间隔数-1  （两端都不种）
质疑：为什么只种一端的情况下棵数与间隔数会相同，而两端都种，两端不种这两种情况下棵数与间隔数会不同？
学生独立思考后讨论交流，教师配合课件演示间隔与棵数的对应关系。
算一算：全长100米，小路旁每隔2米种一棵树苗，一共需要多少棵树苗？
展示学生的不同答案：
1．100÷2+1=51（棵）      （两端都种）
2．100÷2=50（棵）        （只种一端）
3．100÷2—1=49（棵）     （两端不种）
……
选一选：下面每一题相当于植树问题中的哪一种情况？
1．广场上的钟声         （      ）
2．衣服上钉钮扣         （      ）
3．锯木头               （      ）
4．马路旁路灯            (      )
a. 两端都种            b.只种一端             c. 两端都不种
《课程标准》指出，有意义的学习是学生在具体情境中通过有效的活动体验而自主建构的，教师在课堂中创设了“为马路旁设计植树方案”的情境，让学生经历两次有效的探究体验，第一次初步探究“该怎么种？”学生从已有的知识经验出发，通过画图设计出植树方案，并在比较中形象感知三种植树情况的异同。第二次分组探究“间距的长度”，两次探究为学生提供多次体验“植树”的机会，这样充分的活动体验就为植树问题建构模型打下坚实的基础。紧接着老师让学生借助图形帮助学生理解知识，教学中老师注重学生画线段图、示意图能力的培养，借助数形结合，建立间隔数与棵数、段数与点数之间的对应关系，借助数形结合，将学生已有的知识经验转化为思维发展的生长点，使学生思维的发展有了凭借。与此同时，教学中从实际的问题入手，引导学生在分析、思考问题中逐步发现隐含于不同情形（广场上的钟声、衣服上的纽扣、锯木头、马路旁路灯）中的规律，经历抽取数学模型的过程。不难看出学生在学习活动中经历了动手操作，合作交流，数型结合，模型建立的数学化过程。
四、在知识的形成过程中渗透数学思想方法

数学思想方法是从数学内容中抽象概括出来的，既是数学知识的精髓，又是知识转化为能力的桥梁。“系统而有步骤地渗透数学思想方法，尝试把重要的数学思想方法通过学生可以理解的简单形式，采用生动有趣的事例呈现出来”。是人教版新课程实验教材总体设想之一。因此，在“数学广角”教学之中解题不是主要的教学目的，主要任务是向学生渗透一种思想，一种在教学上、在研究问题中都很重要的思想。像“植树问题”、“烙饼问题”、“抽屉问题”、“找次品问题”、“数字与编码”等等都只是作为渗透数学思想方法的一个载体。
如：三年级下册“数学广角”中的“重叠问题”，就是让学生在解决问题的过程中感受到用“韦恩图”来解决重叠问题的价值，渗透用集合图解决重叠问题的思想方法。
又如：四年级上册“数学广角”中的例1：“烙饼时怎样操作最省时间？”；例2：“分析家里来客人需要砌茶，怎样安排各种事情让客人尽快喝上茶？”；“做一做”中“餐厅怎样安排炒菜的顺序，能让客人尽快吃上菜？”等等。通过解决这些简单事例，让学生从中体会运筹思想在解决问题中的妙处，在“田忌赛马”故事中让学生体会“对策论”的方法在实际中的应用。
再如：五年级下册中数学广角“找次品问题”
例1安排了从5个物品中找次品，仅要求说出找次品的方法，体会方法多样化，例2则安排了9个待测物品，并要求学生归纳出解决这类问题的最优策略，从而让学生经历由多样化过渡到优化的思维过程，体会运用优化策略解决问题的有效性。另外，在学法上也要渗透 “数学化”，即由具体到抽象，由特殊到一般的数学分析模式。先让学生探讨待测物品数量为5、9个时怎样找次品，并罗列出各种解决方案；然后从这些方案中找出规律，总结、提炼出一般方法和优化策略；最后，再利用归纳出的方法去解决待测物品数量更多时的问题，同时也可验证归纳出的方法是否正确。
综上所述，准确把握教学目标；创设具有生活化的数学情景；经历动手探究、数型结合、模型建构的过程；在知识的形成过程中渗透数学思想方法是能够为“数学广角”教与学给力的。